株式会社ヘキサドライブ | HEXADRIVE

初めまして。
令和元年の夏から、ヘキサドライブ大阪スタジオに加わりました、
プログラマの卍丁と申します。よろしくお願いいたします。

いきなり私事で恐縮ですが、今月 3 月は、私の誕生月なのです。
ハッピーバースデイ (バースマンス?) ディア、私。
…いや、もうハッピーという年でもないかな(‘A`)

誕生日といえば、皆さんは、↓のような話を耳にしたことはあるでしょうか？

　　1 クラス 40 人いたら、ほぼ確実に誕生日が被っている人がいる

授業で習った方、初めて聞いたけど感覚的に理解できる方、
聞いたことはあるけど納得していない方、様々いらっしゃると思います。
この話に疑いを持たれた素敵な方のために、本当に正しいか、確かめてみたいと思います。

(1) 組み合わせを考える
↑の話を要約すると、
「「40 人の中に誕生日被りが 1 組以上いる確率」がすごく高い」という意味になります。
「40 人の中に誕生日被りが 1 組以上いる確率」は、

　　(A : 誕生日が同じ組み合わせの合計値) / (B : 総組み合わせ数)

という計算式で求められます。

(B : 総組み合わせ数) は、365 日の中から誕生日を 1 日選ぶことを 40 人分繰り返した値です。
365 日の中から 1 日選ぶのは、そのまま 365 通りで、
「365 × 365 × 365 × …(40 回まで続く)」と、365 を 40 回かけた値になります。

(A : 誕生日が同じ組み合わせの合計値) は、
組み合わせの種類をすべて並べて足し合わせます。
なのですが、同じ誕生日が…

• 　・2 人いる
• 　・3 人いる
• 　・2 人いるペアが 2 ペアいる
• 　・2 人のペアと、3 人のグループがいる
• 　・2 人が 3 ペアと、3 人が ２ グループと、4 人が 1 グr… (まだ続きます)

と、相当な種類の組み合わせを考えなければなりません。
これは数学嫌いでない人でも顔をしかめる事態です。

そこで、ちょっと考え方を変えてみます。

(2) 「いらない確率」を考える
今回は確率の計算をしていますが、確率には

　　(C : 求めたい確率) + (D : いらない確率) = 100%

のルールがあることは、皆さんご存じのことと思います。
これを少しいじって、

　　(C : 求めたい確率) = 100% – (D : いらない確率)

この形で考えれば、計算をシンプルにすることができます。

(C : 求めたい確率) が「40 人の中に誕生日被りが 1 組以上いる確率」とする場合、
(D : いらない確率) は「誕生日被りが 1 組未満いる確率」、
即ち「誕生日被りが 1 組もない確率」です。

(D : いらない確率) を求める場合でも、計算式は (C: 求めたい確率) と同じく

　　(E : 誕生日被りが 1 組もない組み合わせの合計値) / (B : 総パターン数)

です。

(E : 誕生日被りが 1 組もいない組み合わせの合計値) は、
365 日の中から 40 人分、被らせないように 1 日ずつ選ぶ組み合わせ
「365 × 364 × 363 × … × 326」この 1 種類だけになります。

これを計算式にあてはめ、

　　(365 × 364 × 363 × … × 326) / (365 × 365 × 365 × … (40 回まで続く))

電卓を叩いて計算してみると、約 10.9% という値が得られました。

(3) 結論
(D : いらない確率) が 10.9% となったので、100% から引いた確率

　　(C : 求めたい確率) = 100% – 10.9% = 89.1%

これが「40 人の中に誕生日被りが 1 組以上いる確率」です。

つまり、40 人いたら約 90% の確率で、誕生日被りが発生するのです！Σm9(・ω・)

10% の確率で被らないため確実とはなりませんが、高い確率で被ることが確認できました。
無駄な知識が、1 つ増えてしまいましたね。

人数が異なる場合、閏年の場合、自分と誕生日被りの人がいる場合などを考えるとき、
入れる数値は変わりますが、計算方法は変わりません。
ちなみに弊社ヘキサドライブの社員は 100 人、閏年を考慮して計算してみると…
気になった方はぜひご自身で計算してみてください。

それではまた～。